Začínal s basketbalem v Sokole Brno I. Už v sedmnácti letech hrál první ligu a Sokolský stadion v Brně mu přirostl k srdci. V československé lize hrál celkem šestnáct sezón postupně v dresech Sokola Brno I, Zbrojovky Brno, Slavie Brno a Tatranu Ostrava. Stal se osmkrát mistrem Československa, jednou byl stříbrný a čtyřikrát bronzový. Jan Kozák byl špičkový basketbalista a trenér. Souběžně s basketbalem hrál i první ligu házené za KP Brno a také za se objevil v házenkářské reprezentaci.
V národním týmu odehrál 115 zápasů včetně dvou olympiád 1948 v Londýně (7. místo) a 1952 v Helsinkách (9. místo). Na hrách v Londýně byl v devatenácti letech a 26 dnech nejmladším členem československé výpravy. Ze čtyř evropských šampionátů přivezl tři medaile, když 1947 v Praze, 1951 v Paříži a 1955 v Budapešti pomohl vybojovat stříbro. V anketě o nejlepšího českého basketbalistu dvacátého století skončil na osmnáctém místě a v roce 2006 byl uveden do Síně slávy České basketbalové federace. Rovněž je zařazen na čestné listině mistrů sportu.
